INICIOS DE LA MATEMÁTICA - PREHISTORIA

Inicios de la matemática - prehistoria

Hay dibujos que nos informan de algún conocimiento matemático elemental antes que existieran los primeros registros escritos. Los paleontólogos descubrieron rocas de ocre  en una caverna de  Sudáfrica  aproximadamente 70.000 años a. de C , tienen hendiduras en forma de patrones geométricos.

También algunos artefactos matemáticos prehistóricos  se descubrieron en África y Francia , que databan entre 35.000 y 20.000 a. de C. , en ellos se observan intentos iniciales de cuantificar el tiempo.

Cuando hablaban de manada, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos, muchos , así como la idea de cero o ninguno.

El hueso de Ishango  que se encontró en la región del río Nilo, data aproximadament de antes del 20.000 a. de C. . Consta de una secuencia de números primos  y de la multiplicación por duplicación.

Fuente  Wikipedia  http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

                                         El hombre de la prehistoria,  cazador y recolector
                                         necesitó contar, tenía idea de uno , dos , muchos, ninguno.

Matematica en la antigüedad - Matemyfotog

Matematica en la antigüedad - Matemyfotog a video by matemyfotog on Flickr.

Matematica en la antigüedad - Matemyfotog
La historia de las matemáticas abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos matemáticos, la evolución de sus conceptos, teorías y métodos
Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 , data de 1900 a de C., el papiro de Moscú de 1850 a de C., el papiro de Rhind de 1650 a de C. En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que es el más antiguo desarrollo matemático después de la aritmética y la geometría básica.

Matemática: Ciencia de los números y de las figuras

Desde la antigüedad el concepto de matemática se identificó  con el de ciencia de los números y de las figuras.

Aunque hoy está superada esta definición , aún sigue siendo representativa  teniendo en cuenta el contenido primario de la ciencia matemática. Se considera como la forma más antigua del pensamiento científico, tanto en la cultura occidental como en otras alejadas civilizaciones , como azteca,  egipcia y china.

Ninguna otra disciplina tiene en un grado tan profundo y preciso  el factor de la abstracción, entendiéndose a ésta como una actividad intelectual  que considera en forma aislada  un aspecto de la realidad  o un fenómeno , aislándolo de todo  con la finalidad de poder conocerlo mejor.

Esta característica permitió el desarrollo de la matemática en dos planos bien diferenciados, uno como ciencia en si misma y otro como ciencia auxiliar  fundamental de otras  disciplinas. Es la ciencia auxiliar de la física, bilogía, química , astronomía, tecnología entre otras.

La Matemática , como ciencia en sí misma  es un excepcional ejercicio para el desarrollo de la mente  y capacidad intelectual. Bertrand  Russell la definía  como una  “gimnasia del cerebro”  , uno de los destacados matemáticos que trabajaron en su modernización.

La división fundamental de la matemática , según como lo señaló G.F.Cantor, por el “ campo de los números y sus infinitas combinaciones “ y  por el “ campo de la representación de las figuras , ya sea en el plano  o bien en el espacio”.

Este el punto de partida para introducirnos en el mundo de la matemática , tan complejo y sugerente, desde la antigüedad hasta nuestros días, desde lo cotidiano hasta lo científico ,  pasando por la abstracción, construcciones, cálculos, resolución de problemas, planteo de problemas, investigación  , aplicación de propiedades y teorías.

 

                                         Matemática, cálculos y geometría en la antigüedad

Símbolos numéricos de las primeras civilizaciones

 

                                                                       Thales de Mileto

Fractales: Belleza matemática

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Fractales: Belleza matemática


La matemática posee una belleza preponderante, que la podemos admirar y apreciar en esta producción de fractales

La ciencia matemática produce una gran atracción, relacionando el sentimiento y el pensamiento de la persona que disfruta de su belleza.

Esto lo resignificó el filósofo y matemático Bertrand Russell cuando expresa:

La matemática, cuando se la comprende bien, posee no solamente la verdad, sino también la suprema belleza.
Bertrand Russell (1872 – 1970)
Matemático y filósofo británico

Los fractales se generaron con el programa XoeS

Fractal- Conjunto de Mandelbrot

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Fractal- Conjunto de Mandelbrot
El mundo es infinito, como es infinito un fractal.

Belleza suprema

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Belleza suprema
Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.
Bertrand Russell (1872-1970) Filósofo, matemático y escritor británico.

Explosión matemática

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Explosión matemática
Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filósofia.
Isócrates (436 AC-338 AC) Orador ateniense.

Belleza y Matemática

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Belleza y Matemática
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.

René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.

Conjunto de Mandelbrot - Belleza matemática

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Conjunto de Mandelbrot - Belleza matemática
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.
Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.

Complejidad fractal

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Complejidad fractal
"Las cosas de incalculable complejidad se llaman fractales y tienen en común presentar longitudes infinitas dentro de áreas finitas."

Antonio Escohotado
Caos y Orden

Conjunto de Mandelbrot

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Se lo conoce con este nombre en honor al matemático Benoit Mandelbrot, que investigó sobre la geometría fractal y sobre este conjunto en la década del 70 del siglo XX.

Los fractales realizan un gran aporte al mundo de la ciencia

Según B. Mandelbrot se considera fractal a aquel objeto que consta de fragmentos con orientación y tamaño variable pero de aspecto similar.

Esta característica confiere al fractal algunas propiedades geométricas especiales en cuanto a su longitud y a la relación existente entre el área de su superficie y su volumen.

estas propiedades especiales hacen que se requieran otras herramientas matemáticas diferentes a las comunes para poder explicar sus características.

En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red vascular, las ramificaciones bronquiales , la red neuronal, la disposición de las glándulas, etc.

La importancia que tiene esta geometría fractal en el organismo es que permite optimizar la función de los sistemas debido a que en el mínimo espacio tienen la máxima superficie.

La dimensión fractal es un índice matemático que se puede calcular y que permite cuantificar las características de los objetos o fenómenos fractales.

 

La concepción de dimensión que se usa normalmente es la euclidiana clásica, una dimensión es una recta, dos dimensiones forman un plano y tres dimensiones forman un objeto con volumen.

Sin embargo una línea irregualr tiende a formar una superficie y una superficie si se dobla se convierte en un volumen. Muchas estructuras naturales tienen estas características, por lo que geométricamente  estas estructuras podrían tener una dimensión no entera entre 2 y 3.

La dimensión fractal es un indicador de complejidad en la organización y la capacidad para ocupar espacio o almacenar información.

Los fractales realizan un aporte al mundo de la ciencia, con conocimientos concretos y con una nueva forma de concebir las cosas y resolver los problemas que se nos plantean.

La geometría fractal permite describir muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean. Algunos conjuntos fractales tienen formas tan disparatadas que ni en las ciencias ni en las artes han encotrado palabras para describirlos.

Se puede afirmar que la geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la Naturaleza.

 

 

 

Estos fractales fueron generados con el programa XaoS.

 

Estructuras fractales en el cuerpo humano

En nuestro cuerpo abundan las estructuras fractales. El sistema circulatorio está constituido por un  gran número de ramificaciones tubulares, que van del tamaño de las arterias y venas principales a los capilares que oxigenan y arrastran los residuos a nivel celular. Se alcanza hasta 30 niveles de ramificación. Nuestro sistema circulatorio tiene un sistema de cañerias , cuya longitud, si pudiéramos colocar en línea recta todos los vasos sanguíneos , daría la vuelta al globo terráqueo siete veces. Y lo hace ocupando sólo un 3 %  del volumen total de nuestro cuerpo. Lo mismo podemos decir del sistema nervioso, los conductos biliares o el sistema linfático.En cuanto a los intestinos, los repliegues a distintas escalas, permiten que la superficie de absorción se incremente espectacularmente con respecto a una superficie homóloga lisa.

El sistema de ramificación de nuestros pulmones es  fácil de modelizar. La tráquea sufre una primera división en dos tubos, los bronquios, que a su vez se dividen cada uno en dos bronquiolos y así sucesivamente, hasta llegar al nivel de los alveolos. La superficie alveolar equivales a la superficie de una pista lisa de tenis en el interior de los dos pulmones de una persona.

 

 

 

 

Estructuras fractales en el cuerpo humano, sistema respiratorio, sistema nervioso.



Fractalidad en la naturaleza

Las plantas en general son una fuente de ejemplos casi inagotable de fractalidad en la naturaleza.

Helecho serrucho (Nephrolepis cordifolia)

 

 

 

 Photinia

 

 

 

Plantas fractales

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal.
En realidad la fractalidad es muy habitual en la naturaleza y la pregunta  es .. por qué?
Resulta que la fractalidad es muy práctica: repetir partes muchas veces es una forma  muy útil de aumentar la superficie ( sin tener que aumentar demasiado el volumen).
La geometría fractal es una de las cosas más vistosas de la matemática, generando figuras de una simetría compleja y desconcertante para el observador no experto.
Las plantas en general son una fuente de ejemplos casi inagotable de fractalidad en la naturaleza.
Con un trabajo de campo que hemos realizado se ha comprobado que las plantas :
- Tienen formas muy complejas, a cualquier tamaño.
- Tienen autosimilitud, es decir, que pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total.
- Poseen la propiedad de que cada pequeña porción puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo.
- Tienen formas irregulares, no pueden ser descriptas en términos geométricos tradicionales.
A continuación fotografías de plantas fractales:

  

Chamaecyparis - Aurea

 

 

 

Nemesias

 

 

Margaritas

Fractal de papel - Conjunto de Cantor

Para construir el modelo de papel del Conjunto de Cantor se toma una hoja de papel y se dobla longitudinalmente. Se divide la hoja a lo largo del doblez en tres partes iguales, haciendo dos cortes de longitud igual a la mitad de lo que queda hasta el otro lado. Se marcan los dobleces. Se vuelve a cortar en tercios hasta la mitad en cada uno de los lados y se dobla. En las fotografías se muestra el modelo terminado.

 

Modelo terminado (a)

Modelo terminado (b)



Fractal de papel - Escalera

Para construir la escalera , se comienza con una hoja de papel y se dobla transversalmente. Se divide la hoja a lo largo del doblez mediante dos cortes a 1/4 y 3/4 de la longitud del doblez, haciendo dos cortes de longitud igual a la mitad de lo que queda hasta el otro lado  y se realiza el doblez. Sin desdoblar se corta en la nueva solapa a 1/4 y 3/4 . De nuevo se realiza el doblez y sin desdoblar se continúa el mismo procedimiento. Se indica en las siguientes fotografías.

 

 

 

 Modelo terminado (a)

 

Modelo terminado (b)



Triángulo de Sierpinski - Construcción

El matemático polaco WaclawSierpinski introdujo este fractal en 1919. Es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo. Se construye un triángulo abc, se marca el punto mediode cada uno de los lados, se unen estos tres puntos, quedan determinados cuatro triángulos congruentes, se colorea el triángulo del  centro.Colorear equivale a suprimirlo. Se realiza el mismo procedimiento en los triángulos que quedaron, y así sucesivamente como se muestra en las fotografías siguientes.

Triángulo de Sierpinski - Fractal construido con papel

Para construir el modelo de papel del triángulo de Sierpinski se comienza con una hoja de papel y se dobla transversalmente . Se divide  la hoja a lo largo del doblez en dos partes iguales, haciendo un corte de longitud igual a la mitad de lo que queda del otro lado. Se dobla una de las mitades para marcar el doblez, y una vez marcado, se mete hacia adentro, quedando una especie de escalera de dos peldaños. En cada uno de los peldaños, se repite la operación y así se continúa. Su construcción se muestra en las fotografías.

 

 

 Modelo terminado (a)

 

                                                            



Modelo terminado (b)

Construcción del Fractal Alfombra de Sierpinski

Siguiendo los pasos explicados en el informe anterior se obtuvieron las siguientes figuras:

Fractal : La alfombra de Sierpinski

Cómo construir la alfombra de Sierpinski
Comenzamos con un cuadrado.
En el cuadrado se trazan 9 cuadrados congruentes y eliminamos el cuadrado central.
El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes. Y así se continúa.

 a

 Primer cuadrado

 

  b

 Se trazaron 9 cuadrados y se eliminó el central

 

  c

En cada uno de los 8 cuadrados se trazan 9 cuadrados y se elimina el central

 

  d

Se vuelve aplicar recursivamente, observamos en este  paso, que se formaron 8 figuras iguales

a la anterior.(c)

 e

Se vuelve aplicar recursivamente , y observamos 8 figuras iguales a la anterior (d) y 64 figuras

iguales al (c)  y así podemos continuar .